Foundation Series, Class: VII, বীজগাণিতিক সূত্রাবলী

PROBLEM TYPE: I (সূত্রের সাহায্যে বর্গ নির্ণয় করো:)
প্রয়োজনীয় সূত্র:
${\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}$
${\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}$

(1) $305$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(2) $65$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(3) $110$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(4) $1006$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(5) $10.5$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(6) $202$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(7) $3.1$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(8) $996$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(9) $9$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(10) $9999$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(11) $99$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(12) $995$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(13) $9991$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(14) $697$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(15) $9999$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(16) $910$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(17) $712$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(18) $799$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(19) $891$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(20) $895$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(21) $993$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(22) $1009$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(23) $1011$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(24) $1110$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(25) $1494$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(26) $2008$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(27) $9991$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(28) $9999$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(29) $50.25$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(30) $99.75$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(31) $110.1$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(32) $198.5$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(33) $999.5$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(34) $100.15$ এর বর্গ নির্ণয়

(35) $\left( {3x + 2y} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(36) $\left( {2xy + yz} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(37) $\left( {2{x^3} + 3{y^4}} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(38) $\left( {\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(39) $\left( {1 + x} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(40) $\left( {2x + 1} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(41) $\left( {3x + 2} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(42) $\left( {\frac{1}{2} + 2y} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(43) $\left( {5a + 3} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(44) $\left( {6t + 3} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(45) $\left( {7 + 2a} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(46) $\left( {4xy + 2} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(47) $\left( {2p + 3q} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(48) $\left( {3r + 2s} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(49) $\left( {x + \frac{1}{x}} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(50) $\left( {5a + 6b} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(51) $\left( {\frac{x}{2} + 2y} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(52) $\left( {\frac{x}{8} + 2y} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(53) $\left( {ab + 1} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(54) $\left( {ab + b} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(55) $\left( {xy + xz} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(56) $\left( {5{x^2} + 6xy} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(57) $\left( {{x^2} + {y^2}} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(58) $\left( {{a^4} + {b^4}} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(59) $\left( {{x^4} + \frac{1}{{{x^4}}}} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(60) $\left( {3{x^2} + \frac{1}{2}} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(61) $\left( {\frac{{{a^3}}}{2} + \frac{{{b^2}}}{3}} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(62) $\left( {abc + bc} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(63) $\left( {x + 2y + z} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(64) $\left( {ax + b + c} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(65) $\left( {a + 2b + c + d} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(66) $\left( {x + y + z + w} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(67) $\left( {x + yz + a + b} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(68) $\left( {2{x^2} - 7{y^2}} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(69) $\left( { - ab - bc} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(70) $\left( {3p + 2q - r} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(71) $\left( {m + 2n - 3p} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(72) $\left( {a + b + c + d} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(73) $\left( {a - 2b - 3c + 4d} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(74) $\left( {2m - 3n} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(75) $\left( {x + 2} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(76) $\left( {2x + 3} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(77) $\left( {3{x^2} + y} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(78) $\left( {5xy + {y^2}} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(79) $\left( {6{x^2}y + 7x{y^2}} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(80) $\left( {abx + bcx} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(81) $\left( {3a - b} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(82) $\left( {4a - 5b} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।
[/content]
[content]
(83) $\left( {2ab - 3a} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(84) ${x^2} + \frac{1}{x}$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(85) $\left( {a{x^2} + \frac{1}{x}} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(86) $\left( {8{m^2}{n^2} + 9} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(87) $\left( {\frac{{{x^2}}}{y} + \frac{{{y^2}}}{x}} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(88) $\left( {{x^2}y + x{y^2}} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(89) $\left( {{a^3}x + \frac{x}{{{a^3}}}} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(90) $\left( {{x^2} - 2ax} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(91) $\left( {\frac{a}{b} - \frac{b}{a}} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(92) $\left( {2a - \frac{1}{{4a}}} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(93) $\left( {\frac{{2m}}{n} - \frac{n}{{2m}}} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(94) $\left( {2{a^2}b - \frac{3}{{{a^2}b}}} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(95) $\left( {3{m^2}{n^2} - \frac{1}{{3mn}}} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(96) $\left( {5{x^2}y - 3{y^2}x} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(97) $\left( {axy - bxy} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(98) $\left( {a{m^3} - \frac{1}{{2{a^2}{m^2}}}} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(99) $\left( {2a + 2b + c} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(100) $\left( {\frac{a}{3} + \frac{b}{2} + 3c} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(101) $\left( {{x^2} + x + 1} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(102) $\left( {a{x^2} + \frac{1}{{a{x^2}}} + 2} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(103) $\left( {{a^2} + a + \frac{1}{{{a^2}}}} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(104) $\left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x} + xy} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(105) $\left( {\frac{1}{x} + \frac{2}{y} + xy} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(106) $\left( {2 - x} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(107) $\left( {x - 3} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(108) $\left( {m - 4} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(109) $\left( {5x - 3} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(110) $\left( {3x - 2} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(111) $\left( {2y - 3} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(112) $\left( {3p - 2q} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(113) $\left( {4x - 5y} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(114) $\left( {2r - 13s} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(115) $\left( {6{a^2} - 5{b^2}} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(116) $\left( {4{x^3} - 9{y^3}} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(117) $\left( {\frac{{3a}}{2} - 2} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(118) $\left( {5x - \frac{a}{4}} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(119) $\left( {\frac{{5a}}{6} - 1} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(120) $\left( { - 3x + \frac{2}{y}} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(121) $\left( {a - \frac{1}{x}} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(122) $\left( {ab - a} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(123) $\left( {bc - c} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(124) $\left( {xy - ab} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(125) $\left( {2xy - 3{y^2}} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(126) $\left( {abc - 1} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(127) $\left( {2abc - 3ab} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(128) $\left( {3xy - \frac{1}{{4xy}}} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(129) $\left( {5xyz - 2abc} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(130) $\left( {3{x^2} - \frac{{4{y^2}}}{3}} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(131) $\left( { - x + 2y} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(132) $\left( {3x + xyz} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(133) $\left( {x + \frac{1}{x} + 1} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(134) $\left( {x + 3y} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(135) $\left( {5m + 2} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(136) $\left( {7y - z} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(137) $\left( { - \frac{a}{{{b^2}}} + \frac{b}{{{a^2}}}} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(138) $\left( {ab + bc + ca} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(139) $\left( {x + 2y + 1} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(140) $\left( {x + y - 2z} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(141) $\left( {\frac{x}{y} + xy - 1} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(142) $\left( {2x - 3y + \frac{x}{y}} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(143) $\left( {am - \frac{1}{{am}} + \frac{a}{m}} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(144) $\left( {xy + yz - zx} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(145) $\left( {ax + a - x} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(146) $\left( {ax - bx + 1} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(147) $\left( {{m^2} - m - \frac{1}{m}} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(148) $\left( {{a^2}b + a{b^2} - 1} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(149) $\left( {{a^2} - 2{b^2} - 3{c^2}} \right)$ বর্গ নির্ণয় করো।

(150) $\left( {\frac{n}{m} - \frac{p}{n} - \frac{m}{p}} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(151) $\left( {\frac{{{m^2}}}{{{n^2}}} - \frac{n}{m} - 1} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(152) $\left( {{a^2} + {b^2} + a + b} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(153) $\left( {a + 2b + 3x + 4y} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(154) $\left( {{a^2} + {b^2} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(155) $\left( {a - b - c - d} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(156) $\left( {m + 2n - 3p - q} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(157) $\left( {{a^3} + {a^2} + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^3}}}} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

PROBLEM TYPE: II (বিস্তৃতি নির্ণয় করো:)
প্রয়োজনীয় সূত্র:

${\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}$
${\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}$

(1) ${\left( {541} \right)^2}$

(2) ${\left( {692} \right)^2}$

(3) ${\left( {789} \right)^2}$

(4) ${\left( {803} \right)^2}$

(5) ${\left( {891} \right)^2}$

(6) ${\left( {960} \right)^2}$

(7) ${\left( {3a + 2b} \right)^2}$

(8) ${\left( {2a + 5x} \right)^2}$

(9) ${\left( {3ab + 7} \right)^2}$

(10) ${\left( {5x + \frac{2}{5}y} \right)^2}$

(11) ${\left( {4x + \frac{1}{{2x}}} \right)^2}$

(12) ${\left( {4y + \frac{1}{{2y}}} \right)^2}$

(13) ${\left( {2{x^3} + 3{y^3}} \right)^2}$

(14) ${\left( {\frac{{3{a^2}}}{{4{b^2}}} + \frac{{8{b^2}}}{{3{a^2}}}} \right)^2}$

(15) ${\left( {\frac{{3{a^2}}}{4} + \frac{4}{{3{a^2}}}} \right)^2}$

(16) ${\left( {4{a^2} + \frac{1}{{4{a^2}}}} \right)^2}$

(17) ${\left( {2x - y} \right)^2}$

(18) ${\left( {\frac{x}{y} - 3} \right)^2}$

(19) ${\left( {\frac{3}{4}a - \frac{b}{3}} \right)^2}$

(20) ${\left( {{x^3} - {y^3}} \right)^2}$

(21) ${\left( {4 - \frac{{{x^4}}}{{{y^4}}}} \right)^2}$

(22) ${\left( {a - \frac{1}{a}} \right)^2}$

(23) ${\left( {{x^2} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^2}$

(24) ${\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{y^2}}}{4}} \right)^2}$

(25) ${\left( {xy - 3x} \right)^2}$

(26) ${\left( {6a + 5b} \right)^2}$

(27) ${\left( {3{a^2} - 5{b^2}} \right)^2}$

(28) ${\left( {{x^2}{y^3} + {x^3}{y^2}} \right)^2}$

(29) ${\left( {2{p^2} - q} \right)^2}$

(30) ${\left( {5{m^2} + 7m} \right)^2}$

(31) ${\left( {7w - 8z} \right)^2}$

(32) ${\left( {11r + 11} \right)^2}$

(33) ${\left( {8t - 5r} \right)^2}$

(34) ${\left( {x - y - z} \right)^2}$

(35) ${\left( {m + n + 2p + 3q} \right)^2}$

(36) ${\left( {a + b + c + d} \right)^2}$

PROBLEM TYPE: III (পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশ করো:)
(1) ${a^2} + 2ab + {b^2}$

(2) $9{a^2} + 6ab + {b^2}$

(3) $1 + \frac{4}{a} + \frac{4}{{{a^2}}}$

(4) $\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{x}{y} + \frac{4}{{{y^2}}}$

(5) $36{x^2} + x + \frac{1}{{144}}$

(6) ${a^2} + 8ab + 16{b^2}$

(7) $4{x^2}{y^2} + {x^2} + \frac{{{x^2}}}{{16{y^2}}}$

(8) $25{x^2} - 10x + 1$

(9) $\frac{4}{{{a^2}}} + \frac{9}{{{b^2}}} - \frac{{12}}{{ab}}$

(10) $36{a^2} - 36ab + 9{b^2}$

(11) ${a^2} - 2 + \frac{1}{{{a^2}}}$

(12) $\frac{4}{{{x^2}}} + \frac{9}{{{y^2}}} - \frac{6}{{xy}}$

(13) $9{x^6} - 4 + \frac{1}{{9{x^6}}}$

(14) ${x^2} - 2 + \frac{1}{{{x^2}}}$

(15) $4{x^2} + \frac{9}{{16{y^2}}} - \frac{{3x}}{y}$

(16) $36{a^2} + 12ab + {b^2}$

(17) $4{a^2} + 4ab + {b^2}$

(18) ${x^4} - 2{x^2}{y^2} + {y^4}$

(19) $25{a^2} + 10a + 1$

(20) $9{x^2} + 2x + \frac{1}{9}$

(21) $16{x^2} + 24ab + 9{b^2}$

(22) ${a^2}{b^2} + 4abc + 4{c^2}$

(23) $4{m^2} - 28mn + 49{n^2}$

(24) $25{x^2} - 5xy + \frac{{{y^2}}}{4}$

(25) ${a^2} + 4a + 4$

(26) $36{x^2} - 2 + \frac{1}{{36{x^2}}}$

(27) $\frac{1}{{{a^2}}} - \frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{4{b^2}}}$

(28) $25{a^2} - 60ab + 36{b^2}$

(29) $36{a^2} + 12a + 1$

(30) $25{x^2} + 60xy + 36{y^2}$

(31) $81{a^2} - 18ab + {b^2}$

(32) $4{p^2} - 44pq + 121{q^2}$

(33) ${a^2}{b^2} - 12abc + 36{c^2}$

(34) $36{p^2} + 132pq + 121{q^2}$

(35) $25{\left( {2{a^2} - {b^2}} \right)^2} + 30\left( {2{a^2} - {b^2}} \right){c^2} + 9{c^4}$

(36) ${x^4}{y^2} + 2{x^3}{y^3} + {x^2}{y^4}$

(37) ${x^4} + 2x + \frac{1}{{{x^2}}}$

(38) ${a^2}{x^4} + 2ax + \frac{1}{{{x^2}}}$

(39) $64{m^4}{n^4} + 144{m^2}{n^2} + 81$

(40) $\frac{{{x^4}}}{{{y^2}}} + 2xy + \frac{{{y^4}}}{{{x^2}}}$

(41) ${a^6}{x^2} + 2{x^2} + \frac{{{x^2}}}{{{a^6}}}$

(42) ${x^4} - 4a{x^3} + 4{a^2}{x^2}$

(43) $\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} - 2 + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}$

(44) $4{a^2} - 1 + \frac{1}{{16{a^2}}}$

(45) $\frac{{4{m^2}}}{{{n^2}}} - 2 + \frac{{{n^2}}}{{4{m^2}}}$

(46) $4{a^4}{b^2} - 12 + \frac{9}{{{a^4}{b^2}}}$

(47) $9{m^4}{n^4} - 2mn + \frac{1}{{9{m^2}{n^2}}}$

(48) $25{x^4}{y^2} - 30{x^3}{y^3} + 9{y^4}{x^2}$

(49) ${a^2}{x^2}{y^2} - 2ab{x^2}{y^2} + {b^2}{x^2}{y^2}$

(50) ${a^2}{m^6} - \frac{m}{a} + \frac{1}{{4{a^4}{m^4}}}$

(51) $36{a^2} + 60ab + 25{b^2}$

(52) $9{a^4} - 30{a^2}{b^2} + 25{b^4}$

(53) ${x^4}{y^6} + 2{x^5}{y^5} + {x^6}{y^4}$

(54) $4{p^4} - 4{p^2}q + {q^2}$

(55) $25{m^4} + 70{m^3} + 49{m^2}$

(56) $49{x^2} - 112xy + 64{y^2}$

(57) $121{r^2} + 242r + 121$

(58) $64{t^2} - 80tr + 25{r^2}$

(59) $25{m^2} + 30mn + 9{n^2}$

(60) $36 + 24{p^2} + 4{p^4}$

(61) ${a^2} + 2 + \frac{1}{{{a^2}}}$

(62) ${a^4} - 1 + \frac{1}{{4{a^4}}}$

(63) $9{p^2} + 6p + 1$

(64) $4{p^2} - 2p + \frac{1}{4}$

(65) $49{\left( {2x - 3y} \right)^2} - 14\left( {2x - 3y} \right)z + {z^2}$

(66) $4{\left( {m + n} \right)^2} - 12\left( {m + n} \right)p + 9{p^2}$

(67) $4{\left( {m + n} \right)^2} - 12\left( {m + n} \right)\left( {m - n} \right) + 9{\left( {m - n} \right)^2}$

(68) ${\left( {a + b} \right)^2} + 2\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) + {\left( {a - b} \right)^2}$

(69) $49{\left( {2x - 3y} \right)^2} - 14\left( {2x - 3y} \right)z + {z^2}$

(70) $9{\left( {a + b} \right)^2} - 6\left( {a + b} \right)c + {c^2}$

(71) $49{\left( {7x - 6y} \right)^2} - 84\left( {7x - 6y} \right)y + 36{y^2}$

(72) $4{\left( {m + n + p} \right)^2} - 12\left( {m + n + p} \right)p + 9{p^2}$

(73) $49{\left( {2x + y - 2z} \right)^2} + 28\left( {2x + y - 2z} \right)\left( {2y + z} \right) + 4{\left( {2y + z} \right)^2}$

(74) ${x^3} - 2 + \frac{1}{{{x^3}}}$

(75) $\left( {25{a^2} + 10a + 1} \right)$

(76) $\left( {9{x^2} + 2x + \frac{1}{9}} \right)$

(77) $\left( {{x^2} + xy + \frac{{{y^2}}}{4}} \right)$

(78) $\left( {36{x^2} + 2xy + \frac{{{y^2}}}{{36}}} \right)$

(79) $\left( {9{x^2} - xy + \frac{{{y^2}}}{{36}}} \right)$

(80) $\left( {\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{3}{4}xy + \frac{{9{y^2}}}{{16}}} \right)$

PROBLEM TYPE: IV (পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশ করে মান নির্ণয় করো:)
(1) যদি $a = 2$ এবং $b = - 3$ হয়, তাহলে $36{a^2} + 12ab + {b^2}$ এর মান নির্ণয় করো।

(2) যদি $a = 2$ এবং $b = - 3$ হয়, তাহলে $4{a^2} + 4ab + {b^2}$ এর মান নির্ণয় করো।

(3) যদি $a = 2$ এবং $b = - 3$ হয়, তাহলে ${\left( {a + b} \right)^2} + 2.\left( {a + b} \right).\left( {a - b} \right) + {\left( {a - b} \right)^2}$ এর মান নির্ণয় করো।

(4) যদি $a = 2$ এবং $b = 3$ হয়, তাহলে $36{a^2} - 36ab + 9{b^2}$ এর মান নির্ণয় করো।

(5) যদি $a = 2$ হয় তাহলে, $36{a^2} + 12a + 1$ রাশিটিকে পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশ করে মান নির্ণয় করো।

(6) যদি $x = 1$ এবং $y = - 1$ হয় তাহলে, $25{x^2} + 60xy + 36{y^2}$ রাশিটিকে পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশ করে মান নির্ণয় করো।

(7) যদি $a = 9$ এবং $b = 11$ হয় তাহলে, $81{a^2} - 18ab + {b^2}$ রাশিটিকে পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশ করে মান নির্ণয় করো।

(8) যদি $p = 8$ এবং $q = - 4$ হয় তাহলে, $4{p^2} - 44p + 121{q^2}$ রাশিটিকে পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশ করে মান নির্ণয় করো।

(9) যদি $a = - 4$, $b = 5$ এবং $c = - 6$ তাহলে, $\left( {{a^2}{b^2} - 12abc + 36{c^2}} \right)$ রাশিটিকে পূর্নবর্গাকারে প্রকাশ করে মান নির্ণয় করো।

(10) যদি $a = 5$,$b = - 7$ এবং $c = 11$ হয় তাহলে, $9{\left( {a + b} \right)^2} - 6\left( {a + b} \right)c + {c^2}$ রাশিটিকে পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশ করে মান নির্ণয় করো।

(11) যদি $x = - 48$ এবং $y = - 49$ হয় তাহলে, $49{\left( {7x - 6y} \right)^2} - 84\left( {7x - 6y} \right).6y + 36{y^2}$ রাশিটিকে পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশ করে মান নির্ণয় করো।
[/content]
[content]
(12) যদি $p = 12$ এবং $q = - 7$ হয় তাহলে, $36{p^2} + + 132pq + 121{q^2}$ রাশিটিকে পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশ করে মান নির্ণয় করো।

(13) যদি $x = 0$, $y = 1$ এবং $z = 2$ হলে, $49{\left( {2x - 3y} \right)^2} - 14\left( {2x - 3y} \right).z + {z^2}$ রাশিটিকে পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশ করে মান নির্ণয় করো।

(14) যদি $m = - 1$, $n = 2$ এবং $p = - 3$ হলে, $4{\left( {m + n} \right)^2} - 12\left( {m + n} \right)p + 9{p^2}$ রাশিটিকে পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশ করে মান নির্ণয় করো।

(15) যদি $a = 8$, $b = - 5$ হলে, $36{a^2} + 132ab + 121{b^2}$ রাশিটিকে পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশ করে মান নির্ণয় করো।

(16) যদি $a = 2$, $b = - 3$ এবং $c = - 2$ হলে, ${\left( {3a + 2b + c} \right)^2} - 2.\left( {3a + 2b + c} \right).\left( {a - b + 2c} \right) + {\left( {a - b + 2c} \right)^2}$ রাশিটিকে পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশ করে মান নির্ণয় করো।

(17) যদি $m = - 2$, $n = - 1$ এবং $p = - 3$ হলে, $4{\left( {m + n + p} \right)^2} - 12\left( {m + n + p} \right).p + 9{p^2}$ রাশিটিকে পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশ করে মান নির্ণয় করো।

(18) যদি $x = - 2$, $y = - 3$ এবং $z = - 5$ হলে, $49{\left( {2x + y - 2z} \right)^2} + 28\left( {2x + y - 2z} \right).\left( {2y + z} \right) + 4{\left( {2y + z} \right)^2}$ রাশিটিকে পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশ করে মান নির্ণয় করো।

(19) যদি $a = - 4$, $b = - 3$ এবং $c = - 2$ হলে, $25{\left( {2{a^2} - {b^2}} \right)^2} + 30\left( {2{a^2} - {b^2}} \right).{c^2} + 9{c^2}$ রাশিটিকে পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশ করে মান নির্ণয় করো।

(20) যদি $a = \frac{5}{6}$ হয়, তাহলে $\left( {9{a^2} + 15a + \frac{{25}}{4}} \right)$ রাশিটিকে পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশ করে মান নির্ণয় করো।

(21) যদি $x = 1$ এবং $y = 1$ হয় তাহলে, $\left( {16{x^2} + 40xy + 25{y^2}} \right)$ রাশিটিকে পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশ করে মান নির্ণয় করো।

(22) যদি $a = 2$ হয় তাহলে, $\left( {\frac{{{a^2}}}{4} - 2a + 4} \right)$ রাশিটিকে পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশ করে মান নির্ণয় করো।

(23) যদি $a = \frac{2}{5}$ হয় তাহলে, $\left( {25{a^2} + \frac{1}{{25{a^2}}} - 2} \right)$ রাশিটিকে পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশ করে মান নির্ণয় করো। 

PROBLEM TYPE: V (Advance Level:)
(1) $P$ এর মান কত হলে $49 + Pa + 36{a^2}$ রাশিটি পূর্ণবর্গরাশি হবে।

Solution:
প্রদত্ত $\left( {49 + Pa + 36{a^2}} \right)$ রাশিটি পূর্ণবর্গ হলে,
${\left( {7 + 6a} \right)^2} = {\left( 7 \right)^2} + 2.7.6a + {\left( {6a} \right)^2}$
$= \left( {49 + 2.7.6a + 36{a^2}} \right)$
$= \left( {49 + 84a + 36{a^2}} \right)$

অর্থাৎ $Pa = 84a$
বা, $P = 84$

(2) $P$ এর মান কত হলে $P + 40xy + 4{y^2}$ রাশিটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে।

Solution:
এখানে, $P + 40xy + 4{y^2} = P + 2.10x.2y + {\left( {2y} \right)^2}$ রাশিটি পূর্ণবর্গ হলে $P$ এর মান হবে,
$P = {\left( {10x} \right)^2} = 100{x^2}$

(3) $M$ এর মান কত হলে, $\left( {9{a^2} + M + 16{b^2}} \right)$ রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে।

(4) $M$ এর মান কত হলে, $\left( {{x^2} + 6bx + M} \right)$ রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

(5) $M$ এর মান কত হলে $\left( {M + 18xy + {y^2}} \right)$ রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

(6) $M$ এর মান কত হলে $\left( {x + {x^2} + M} \right)$ রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

(7) $M$ এর মান কত হলে $\frac{{{a^6}}}{4} + \frac{4}{{{a^6}}} + M$ রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

(8) $M$ এর মান কত হলে $\left( {\frac{{{x^2}}}{9} + M + \frac{{{y^2}}}{4}} \right)$ রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

(9) $\left( {{a^2} + 2a + \frac{1}{2}} \right)$ এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

(10) $\left( {9{x^2} + 25{y^2}} \right)$ রাশিটির সঙ্গে কত যোগ করলে, রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

(11) $\left( {{a^2} + 2a + \frac{1}{2}} \right)$ রাশিটির সঙ্গে কত যোগ করলে, রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে।

(12) $\left( {\frac{4}{{{a^2}}} + \frac{9}{{{b^2}}}} \right)$ রাশিটির সঙ্গে কত যোগ করলে রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

(13) $\left( {9{x^2} - 42xy} \right)$ রাশিটির সঙ্গে কত যোগ করলে, রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

(14) $\left( {{a^2} - 2} \right)$ রাশিটির সঙ্গে কত যোগ করলে, রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

(15) $\left( {4ab + {b^2}} \right)$ রাশিটির সঙ্গে কত যোগ করলে, রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

(16) $\left( {36{x^2} + \frac{{{y^2}}}{4}} \right)$ রাশিটির সঙ্গে কত যোগ করলে, রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

(17) $P$ এর কোন্‌ মানের জন্য $\left( {9{x^2} - 42xy + P} \right)$ রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

(18) $t$ এর মান কত হলে $\left( {{x^2} - tx + \frac{1}{4}} \right)$ রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

(19) $9{x^2} + 25{y^2}$ এর সঙ্গে কত যোগ করলে রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

(20) $T$ এর মান কত হলে $\left( {9 - T + \frac{{{x^2}}}{9}} \right)$ রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

(21) $T$ এর মান কত হলে $\left( {9{x^2} + 16{y^2} - T} \right)$ রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?
[/content]
[content]
(22) $T$ এর মান কত হলে $\left( {25{a^4} - T + \frac{{16}}{{25{a^4}}}} \right)$ রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

(23) $T$ এর মান কত হলে $\left( {\frac{4}{{49}}{x^4} - \frac{1}{3}{x^2}{y^2} + T} \right)$ রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

(24) $T$ এর মান কত হলে $\left( {T - 8 + \frac{4}{{{a^4}{b^4}}}} \right)$ রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

(25) $T$ এর মান কত হলে $\left( {25 - \frac{{10}}{x} + T} \right)$ রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

(26) $T$ এর মান কত হলে $\left( {T - \frac{{2x}}{y} + \frac{{{x^2}}}{4}} \right)$ রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ রাশিটি হবে?

(27) $\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{3}{{ab}} + \frac{1}{{{b^2}}}$ রাশিটি থেকে কত বিয়োগ করলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?

(28) $\left( {\frac{{{x^2}}}{4} + 25{y^2}} \right)$ রাশিটি থেকে কত বিয়োগ করলে, বিয়োগফল একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

(29) $M$ এর মান কত হলে $\left( {{a^2} + a + M} \right)$ রাশিটি একটি পূর্ণবর্গরাশি হবে?

(30) $M$ এর মান কত হলে $\left( {\frac{{{a^4}}}{4} + \frac{4}{{{a^4}}} + M} \right)$ রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

(31) $M$ এর মান কত হলে $\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + M + \frac{{{y^2}}}{9}} \right)$ রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

(32) $M$ এর মান কত হলে $\left( {M + 9{a^2} + 16{b^2}} \right)$ রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

(33) $M$ এর মান কত হলে $\left( {16 - M + \frac{{{x^2}}}{{16}}} \right)$ রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে।

(34) $M$ এর মান কত হলে $\left( {M - 8 + \frac{4}{{{a^4}{b^4}}}} \right)$ রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

(35) $M$ এর মান কত হলে $\left( {25 - \frac{{10}}{x} + M} \right)$ রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

(36) $M$ এর মান কত হলে $\left( {\frac{{{a^4}}}{4} - \frac{{2a}}{b} + M} \right)$ রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

(37) $M$ এর মান কত হলে $\left( {M - \frac{{12}}{{xy}} + \frac{4}{{{x^2}}}} \right)$ রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

(38) $M$ এর মান কত হলে $\left( {9{a^4} - M + \frac{{16}}{{9{a^4}}}} \right)$ রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

(39) $K$ এর কোন মানের জন্য $\left( {4{x^2} + 8x + K - 3} \right)$ রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

(40) $K$ এর কোন মানের জন্য $\left( {\frac{{{x^2}}}{9} + 2x + K + 5} \right)$ রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

(41) $K$ এর কোন মানের জন্য $\left( {25{x^2} + Kxy + \frac{{{y^2}}}{{16}}} \right)$ রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

(42) $K$ এর কোন মানের জন্য $\left( {9{x^2} - 2x + 1 - K} \right)$ রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

PROBLEM TYPE: VI (মান নির্ণয়:)
(1) $x + \frac{1}{x} = 2$ হলে দেখাও যে ${x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = 2$

(2) $2x + \frac{2}{x} = 6$ হলে ${x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}$ = কত?

(3) ${a^2} + \frac{1}{{{a^2}}} = 47$ হলে, $a + \frac{1}{a} =$ কত?

(4) $2x + \frac{1}{{3x}} = 6$ হলে $9{x^2} + \frac{1}{{4{x^2}}}$ এর মান কত?

(5) $a + \frac{1}{{\left( {a - 3} \right)}} = 5$ হলে ${\left( {a - 3} \right)^2} + \frac{1}{{{{\left( {a - 3} \right)}^2}}}$ এর মান কত?

(6) ${a^2} + {b^2} = 6ab$ হলে $\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}$ এর মান কত?

(7) $x + \frac{2}{x} = 1$ হলে $\frac{{{x^2} + x + 2}}{{{x^2}\left( {1 - x} \right)}}$ এর মান কত?

(8) $x + \frac{1}{x} = 2$ হলে ${x^5} + \frac{1}{{{x^5}}}$ এর মান কত?

(9) $x + \frac{1}{x} = 4$ হলে ${x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}$ এর মান কত?

(10) $m + \frac{1}{m} = - 5$ হলে দেখাও যে ${m^2} + \frac{1}{{{m^2}}} = 23$

(11) ${a^2} + {b^2} = 5$ এবং ${a^2}{b^2} = 3$ হলে ${a^4} + {b^4}$ এর মান কত?

(12) $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 2$ হলে $\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}$ এর মান কত?

(13) $2x + 3y = 9$ এবং $xy = 3$ হলে, $4{x^2} + 9{y^2}$ এর মান কত?

(14) $2p + \frac{1}{p} = 6$ হলে $\left( {p + \frac{1}{{2p}}} \right)$ এর মান কত?

(15) $x + \frac{1}{{2x}} = 3$ হলে $4{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}$ = কত?

(16) $3x + \frac{1}{{2x}} = 9$ হলে $4{x^2} + \frac{1}{{9{x^2}}} =$ কত?

(17) $x + \frac{1}{{\left( {x + 2} \right)}} = 3$ হলে ${\left( {x + 2} \right)^2} + \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} =$ এর মান কত?

(18) ${x^2} + {y^2} = 7xy$ হলে, দেখাও যে $\frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2}}} = 47$

(19) $a + \frac{1}{a} = 3$ হলে ${a^4} + \frac{1}{{{a^4}}} =$ কত?

(20) ${x^2} + {y^2} = 0$ হলে, ${x^{99}} + {y^{99}}$ এর মান নির্ণয় করো।

(21) $x + \frac{1}{x} = - 2$ হলে, ${x^5} + \frac{1}{{{x^{10}}}} =$ কত?

(22) $2x + \frac{1}{x} = 2$ হলে, ${\left( {\frac{x}{{2{x^2} + x + 1}}} \right)^2}$ এর মান কত?

(23) $x + \frac{1}{x} = 3$ হলে, $\left( {{x^2} + x + \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)$ এর মান কত?

(24) $7x - \frac{1}{x} = 4$ হলে, দেখাও যে $49{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = 30$

(25) $6{x^2} - 1 = 4x$ হলে, $36{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}$ এর মান কত?

(26) ${a^2} - {b^2} = mab$ হলে, $\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} =$ কত?

(27) ${x^2} - {y^2} = 5$ এবং $xy = 6$ হলে, $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} =$ কত?

(28) $\left( {a - b} \right) = 5$ এবং $ab = 14$ হলে, ${a^2} + {b^2}$ এর মান কত?

(29) $\left( {x - \frac{1}{x}} \right) = 3$ হলে, ${x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}$ এর মান কত?

(30) $\left( {a - b} \right) = 6$ এবং $ab = 40$ হলে, ${a^2} + {b^2} + ab$ এর মান কত?

(31) $2ab - 5cd = 7$ এবং $abcd = 1$ হলে, $4{a^2}{b^2} + 25{c^2}{d^2}$ এর মান কত?

(32) $6\left( {x - \frac{1}{x}} \right) = 5$ হলে দেখাও যে ${x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = 2\frac{{25}}{{36}}$

(33) $3a - \frac{1}{a} = 6$ হয়, তাহলে ${a^2} - \frac{1}{{9{a^2}}}$ এর মান নির্ণয় করো।

(34) $3x - \frac{1}{{2x}} = 9$ হলে $4{x^2} + \frac{1}{{9{x^2}}}$ এর মান কত?

(35) $\left( {{m^2} - 1} \right) = m\left( {n - 1} \right)$ হলে ${m^2} + \frac{1}{{{m^2}}}$ এর মান কত?

(36) $\frac{a}{b} = \frac{b}{a} - 2$ হলে, $\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}$ এর মান নির্ণয় করো।
[/content]
[content]
(37) যদি ${x^2} - {y^2} = 4xy$ হয়, তাহলে প্রমাণ করো যে, $\frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2}}} = 6$

(38) $\frac{{2x}}{y} = \frac{{2y}}{x} + 3$ হলে, $\frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2}}}$ এর মান কত?

(39) যদি $2a = 3b$ হয়, তাহলে $4{a^2} - 12ab + 9{b^2}$ এর মান নির্ণয় করো।

(40) $x - \frac{1}{x} = 3$ হলে, ${x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + x - \frac{1}{x}$ এর মান কত?

(41) $x = a + \frac{1}{a}$ এবং $y = a - \frac{1}{a}$ হলে, ${x^4} + {y^4} - 2{x^2}{y^2}$ এর মান কত?

(42) $a - \frac{1}{a} = 3$ হলে, ${a^4} + \frac{1}{{{a^4}}}$ এর মান নির্ণয় করো।

(43) $x + \frac{1}{x} = a$ হলে, প্রমাণ করো ${\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^2} = {a^2} - 4$

(44) $5m = 4n$ হলে, $25{m^2} - 40mn + 16{n^2}$ এর মান কত?

(45) $\left( {m + \frac{1}{m}} \right) = - 5$ হয়, তাহলে ${m^2} + \frac{1}{{{m^2}}}$ এর মান কত?

(46) $\left( {p - \frac{1}{p}} \right) = m$ হয়, দেখাও যে ${p^2} + \frac{1}{{{p^2}}} = {m^2} + 2$

(47) যদি $x + \frac{1}{x} = 2$ হয় তাহলে, $\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)$ এর মান নির্ণয় করো।

(48) যদি $\left( {m + \frac{1}{m}} \right) = 4$ হয় তাহলে, $\left( {{m^2} + \frac{1}{{{m^2}}}} \right)$ এর মান কত?

(49) যদি $\left( {x - \frac{1}{x}} \right) = 5$ হয়, তাহলে $\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)$ এর মান কত?

(50) যদি $\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right) = 4$ হয়, তাহলে $\left( {\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} \right)$ এর মান কত?

(51) $\left( {2x + \frac{1}{{3x}}} \right) = 6$ হলে, $9{x^2} + \frac{1}{{4{x^2}}}$ এর মান কত?

(52) $\left( {2x + \frac{1}{x}} \right) = 3$ হলে, $\frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{2{x^2} + 1}}$ এর মান কত?

(53) $\left( {2x + \frac{1}{x}} \right) = 3$ হলে, $4{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}$ এর মান কত?

(54) $\left( {x - \frac{1}{{2x}}} \right) = 3$ হলে, $\left( {{x^2} + \frac{1}{{4{x^2}}}} \right)$ এর মান কত?

(55) $\left( {2x + \frac{1}{{3x}}} \right) = 6$ হলে, $\left( {4{x^2} + \frac{1}{{9{x^2}}}} \right)$ এর মান কত?

(56) $\left( {3x - \frac{1}{{2x}}} \right) = 3$ হলে, $\left( {9{x^2} + \frac{1}{{4{x^2}}}} \right)$ এর মান নির্ণয় করো।

(57) $\frac{x}{y} = - \frac{y}{x} + \frac{3}{2}$ হলে, $\left( {\frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2}}}} \right)$ এর মান কত?

(58) $\frac{x}{y} = \frac{y}{x} + \frac{3}{2}$ হলে, $\left( {\frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2}}}} \right)$ এর মান কত?

(59) ${x^2} + {y^2} = 3xy$ হলে, $\left( {\frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2}}}} \right)$ এর মান কত?

(60) ${x^2} - {y^2} = 2xy$ হলে, $\left( {\frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2}}}} \right)$ এর মান কত?

(61) $\left( {3x + \frac{1}{x}} \right) = 6$ হলে, $\left( {{x^2} + \frac{1}{{9{x^2}}}} \right)$ এর মান কত?

(62) $\left( {2x - \frac{1}{x}} \right) = 4$ হলে, $\left( {{x^2} + \frac{1}{{4{x^2}}}} \right)$ এর মান কত?

(63) $\left( {3x + \frac{1}{{2x}}} \right) = 6$ হলে, $\left( {4{x^2} + \frac{1}{{9{x^2}}}} \right)$ এর মান কত?

(64) $\left( {2x - \frac{1}{{3x}}} \right) = 4$ হলে, $\left( {9{x^2} + \frac{1}{{4{x^2}}}} \right)$ এর মান কত?

(65) $p = 2 + \frac{1}{{p + 2}}$ হলে, ${\left( {p + 2} \right)^2} + \frac{1}{{{{\left( {p + 2} \right)}^2}}}$ এর মান কত?

(66) $x = 3 - \frac{1}{{x + 1}}$ হলে, ${\left( {x + 1} \right)^2} + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$ এর মান কত?

(67) $\frac{x}{3} + \frac{1}{x} = \frac{5}{3}$ হলে, $\left( {{x^2} + \frac{9}{{{x^2}}}} \right)$ এর মান কত?

(68) $x + 2y = 3$ এবং $xy = \frac{1}{6}$ হলে, $\left( {9{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)$ এর মান কত?

(69) $\left( {x + 3y} \right) = 4$ এবং $\left( {x - 3y} \right) = 1$ হলে, $\frac{{{x^2} + 9{y^2}}}{{3xy}}$ এর মান কত?

(70) $x + \frac{2}{x} = 1$ হলে, $\frac{{{x^2} + x + 2}}{{{x^2}\left( {1 - x} \right)}}$ এর মান নির্ণয় করো।

(71) $x + \frac{1}{x} = 3$ হলে, $\frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}$ এর মান নির্ণয় করো।

(72) $\frac{x}{{2{x^2} - 3x + 2}} = \frac{1}{3}$ হলে, $x + \frac{1}{x}$ এর মান নির্ণয় করো।

(73) $x + \frac{4}{x} = 2$ হলে, $\frac{{x + 2}}{{{x^2} + 7x + 22}}$ এর মান নির্ণয় করো।

PROBLEM TYPE: VII
প্রয়োজনীয় সূত্র:
${\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}$
বা, ${\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + 2ab$
বা, $\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = {\left( {a + b} \right)^2} - 2ab$
এখানে, $\left( {a + b} \right)$ এবং $ab$ এর মান দেওয়া থাকলে, $\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$ এর মান নির্ণয় করা যায়।

অনুরূপভাবে,

${\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}$
বা, ${\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab$
বা, $\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = {\left( {a - b} \right)^2} + 2ab$
এখানে, $\left( {a - b} \right)$ এবং $ab$ এর মান দেওয়া থাকলে, $\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$ এর মান নির্ণয় করা যায়।
(1) $\left( {a + b} \right) = 5$ এবং $ab = 6$ হয়, তাহলে $\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$ এর মান নির্ণয় করো।

(2) $\left( {a - b} \right) = 2$ এবং $ab = 48$ হলে, ${a^2} + {b^2}$ এর মান কত?

(3) $\left( {a - b} \right) = 5$ এবং $ab = 14$ হলে, ${a^2} + {b^2}$ এর মান কত?

(4) $\left( {a - b} \right) = 6$ এবং $ab = 40$ হলে, ${a^2} + {b^2} + ab$ এর মান কত?

(5) $\left( {a + b} \right) = 9$ এবং $ab = 20$ হলে, ${a^2} + {b^2}$ এর মান কত?

(6) $\left( {2x + 3y} \right) = 9$ এবং $xy = 3$ হলে, $4{x^2} + 9{y^2}$ এর মান কত?

(7) $\left( {a - b} \right) = 2$ এবং $ab = 15$ হলে, ${a^2} + {b^2}$ এর মান কত?

(8) $\left( {x + y} \right) = 7$ এবং $xy = 12$ হলে, $\left( {{x^2} + {y^2}} \right)$ এর মান কত?

(9) $\left( {2a + 3b} \right) = 9$ এবং $ab = 3$ হলে, $\left( {4{a^2} + 9{b^2}} \right)$ এর মান কত?

(10) $\left( {a - b} \right) = 2$ এবং $ab = 15$ হলে, $\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$ এর মান কত?

(11) $\left( {a - b} \right) = 3$ এবং $ab = 40$ হলে, $\left( {{a^2} + {b^2} + ab} \right)$ এর মান কত?

(12) $\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 13$ এবং $\left( {a + b} \right) = 5$ হলে, $ab$ এর মান নির্ণয় করো।

PROBLEM TYPE: VIII

প্রয়োজনীয় সূত্র:
${\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}$ ... ... ... ... (i)
${\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}$ ... ... ... ... (ii)
এখন (i) ও (ii) নং সূত্রদুটিকে যোগ করে পাই,
${\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {a - b} \right)^2} = 2{a^2} + 2{b^2}$
বা, ${\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {a - b} \right)^2} = 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$
সুতরাং, $2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = {\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {a - b} \right)^2}$
এখানে $2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$ রাশিটিকে দুটি বর্গের সমষ্টি রূপে প্রকাশ করা হল।
বা, $\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} + {{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}$
সুতরাং $\left( {a + b} \right)$ এবং $\left( {a - b} \right)$ দেওয়া থাকলে এই সূত্রটি প্রয়োগ করেও $\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$ এর মান নির্ণয় করা যায়।

(1) প্রমান করো, ${\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {a - b} \right)^2} = 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$

(2) $50{x^2} + 128{y^2}$ কে দুটি বর্গের সমষ্টি রূপে প্রকাশ করো।

(3) $200{a^2} + 162{b^2}$ কে দুটি বর্গের সমষ্টি রূপে প্রকাশ করো।

(4) যদি $\left( {a + b} \right) = 9$ এবং $\left( {a - b} \right) = 5$ হয়, তাহলে $2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$ এর মান কত?

(5) $\left( {a + b} \right) = \sqrt 3$ এবং $\left( {a - b} \right) = \sqrt 2$ হলে, $8ab\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$ এর মান কত?

(6) যদি $\left( {x + y} \right) = 5$ এবং $\left( {x - y} \right) = 1$ হয়, তাহলে $8xy\left( {{x^2} + {y^2}} \right)$ এর মান কত?

(7) $\left( {a + b} \right) = - 1$ এবং $\left( {a - b} \right) = 9$ হলে, $8ab\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$ এর মান কত?

(8) $\left( {a + b} \right) = 3$ এবং $\left( {a - b} \right) = 1$ হলে, $ab\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$ এর মান কত?

(9) $\left( {a + 2b} \right) = 3$ এবং $\left( {a - 2b} \right) = 1$ হলে, $ab\left( {{a^2} + 4{b^2}} \right)$ এর মান কত?

(10) $\left( {3a + 2b} \right) = 4$ এবং $\left( {3a - 2b} \right) = 2$ হলে, $4ab\left( {9{a^2} + 4{b^2}} \right)$ এর মান কত?

(11) $\left( {m + n} \right) = 10$ এবং $\left( {m - n} \right) = 2$ হলে, $\left( {{m^2} + {n^2}} \right)$ এর মান কত?

(12) $\left( {a + b} \right) = 5$ এবং $\left( {a - b} \right) = 3$ হলে, $8ab\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$ এর মান নির্ণয় করো।

(13) $\left( {a + b} \right) = 9$ এবং $\left( {a - b} \right) = 6$ হলে, $\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{2ab}}$ এর মান নির্ণয় করো।

(14) $\left( {m + n} \right) = 8$ এবং $\left( {m - n} \right) = 2$ হলে, $\left( {{m^2} + {n^2}} \right)$ এর মান কত?

(15) যদি $\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 5$ এবং $ab = 2$ হয় তাহলে (i) $\left( {a + b} \right)$ এবং (ii) $\left( {a - b} \right)$ এর মান নির্ণয় করো।

(16) যদি $\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 13$ এবং $\left( {a + b} \right) = 5$ হয়, তাহলে (i) $ab$ এবং (ii) $\left( {a - b} \right)$ এর মান নির্ণয় করো।

PROBLEM TYPE: IX

প্রয়োজনীয় সূত্র:
${\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}$ ... ... ... ... (i)
${\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}$ ... ... ... ... (ii)
এখন (i) ও (ii) নং সূত্রদুটিকে বিয়োগ করে পাই,
${\left( {a + b} \right)^2} - {\left( {a - b} \right)^2} = 4ab$
বা, $4ab = {\left( {a + b} \right)^2} - {\left( {a - b} \right)^2}$
বা, $ab = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - {{\left( {a - b} \right)}^2}}}{4}$
বা, $ab = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} - \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{4}$
বা, $ab = {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)^2}$


(1) প্রমান করো, ${\left( {a + b} \right)^2} - {\left( {a - b} \right)^2} = 4ab$

(2) $12$ কে দুটি পূর্ণবর্গ রাশির পার্থক্য বা অন্তর রূপে প্রকাশ করো।

(3) $16$ কে দুটি পূর্ণবর্গ রাশির পার্থক্য বা অন্তর রূপে প্রকাশ করো।

(4) $24$ কে দুটি পূর্ণবর্গ রাশির পার্থক্য বা অন্তর রূপে প্রকাশ করো।

(5) $28$ কে দুটি পূর্ণবর্গ রাশির পার্থক্য বা অন্তর রূপে প্রকাশ করো।

(6) $2xy$ কে দুটি পূর্ণবর্গ রাশির পার্থক্য বা অন্তর রূপে প্রকাশ করো।

(7) $\left( {s + t} \right) = 12$ এবং $\left( {s - t} \right) = 8$ হলে, $st$ এর মান নির্ণয় করো।

(8) $\left( {a + b} \right) = 5$ এবং $\left( {a - b} \right) = 3$ হলে, $\left( {{a^2} + {b^2} - ab} \right)$ এর মান নির্ণয় করো।

(9) $\left( {a + b} \right) = 5$ এবং $\left( {a - b} \right) = 3$ হলে, $\left( {{a^2}b + a{b^2} - {a^2}{b^2}} \right)$ এর মান নির্ণয় করো।

(10) $\left( {{a^4} + 4{b^4}} \right)$ কে দুটি পূর্ণবর্গ রাশির পার্থক্য বা অন্তর রূপে প্রকাশ করো।

(11) $\left( {2x + 3y} \right)\left( {2x - 3y} \right)$ কে দুটি পূর্ণবর্গ রাশির পার্থক্য বা অন্তর রূপে প্রকাশ করো।

(12) $\left( {m + n} \right)\left( {5m - 7n} \right)$ কে দুটি পূর্ণবর্গ রাশির পার্থক্য বা অন্তর রূপে প্রকাশ করো।

(13) $\left( {2mn + 3} \right)\left( {2mn - 3} \right)$ কে দুটি পূর্ণবর্গ রাশির পার্থক্য বা অন্তর রূপে প্রকাশ করো।
[/content]
[content]
(14) $\left( {512 \times 488} \right)$ কে দুটি পূর্ণবর্গ রাশির পার্থক্য বা অন্তর রূপে প্রকাশ করো।

(15) $\left( {603 \times 597} \right)$ কে দুটি পূর্ণবর্গ রাশির পার্থক্য বা অন্তর রূপে প্রকাশ করো।

(16) $\left( {793 \times 807} \right)$ কে দুটি পূর্ণবর্গ রাশির পার্থক্য বা অন্তর রূপে প্রকাশ করো।

(17) $\left( {1015 \times 985} \right)$ কে দুটি পূর্ণবর্গ রাশির পার্থক্য বা অন্তর রূপে প্রকাশ করো।

(18) $\left( {1125 \times 1275} \right)$ কে দুটি পূর্ণবর্গ রাশির পার্থক্য বা অন্তরকে রূপে প্রকাশ করো।

(19) $\left( {1412 \times 1588} \right)$ কে দুটি পূর্ণবর্গ রাশির পার্থক্য বা অন্তর রূপে প্রকাশ করো।

(20) $\left( {3m + 4n} \right)\left( {m - 6n} \right)$ কে দুটি পূর্ণবর্গ রাশির পার্থক্য বা অন্তর রূপে প্রকাশ করো।

(21) $\left( {5x + 3y} \right)\left( {3x - 5y} \right)$ কে দুটি পূর্ণবর্গ রাশির পার্থক্য বা অন্তর রূপে প্রকাশ করো।

(22) $\left( {7x - 5y} \right)\left( {x + y} \right)$ কে দুটি পূর্ণবর্গ রাশির পার্থক্য বা অন্তর রূপে প্রকাশ করো।

(23) $\left( {3{a^2}{m^2} + {b^2}} \right)\left( {{a^2}{m^2} - 3{b^2}} \right)$ কে দুটি পূর্ণবর্গ রাশির পার্থক্য বা অন্তর রূপে প্রকাশ করে।

(24) $\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 50$ এবং $\left( {a + b} \right) = 8$ হলে, $\left( {a - b} \right)$ এর মান নির্ণয় করো।

(25) $\left( {a + b} \right) = 5$ এবং $\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) = 3$ হলে, $\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$ এর মান নির্ণয় করো।

(26) $\left( {4{a^2} + {b^2}} \right) = 50$ এবং $\left( {2a - b} \right) = 6$ হলে, $\left( {2a + b} \right)$ এর মান নির্ণয় করো।
[/content][content]

PROBLEM TYPE: X

${\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}$
এখন উভয়পক্ষে $- 4ab$ যোগ করে পাই,
${\left( {a + b} \right)^2} - 4ab = {a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab$
বা, ${\left( {a + b} \right)^2} - 4ab = {a^2} - 2ab + {b^2}$
বা, ${\left( {a + b} \right)^2} - 4ab = {\left( {a - b} \right)^2}$
বা, ${\left( {a - b} \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 4ab$

অনুরূপভাবে,
${\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}$
এখন উভয়পক্ষে $+ 4ab$ যোগ করে পাই,
${\left( {a - b} \right)^2} + 4ab = {a^2} - 2ab + {b^2} + 4ab$
বা, ${\left( {a - b} \right)^2} + 4ab = {a^2} + 2ab + {b^2}$
বা, ${\left( {a - b} \right)^2} + 4ab = {\left( {a + b} \right)^2}$
বা, ${\left( {a + b} \right)^2} = {\left( {a - b} \right)^2} + 4ab$

(1) $\left( {a + b} \right) = 5$ এবং $ab = 6$ হলে, $\left( {a - b} \right)$ এর মান কত?

(2) $\left( {a - b} \right) = 2$ এবং $ab = 15$ হলে, $\left( {a + b} \right)$ এর মান কত?

(3) $\left( {x + y} \right) = 5$ এবং $xy = 6$ হলে, $\left( {x - y} \right)$ এর মান নির্ণয় করো।

(4) $\left( {x + \frac{1}{x}} \right) = 4$ হলে, ${\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^2}$ এর মান কত?

(5) $\left( {x - \frac{1}{x}} \right) = 3$ হলে প্রমান করো ${\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} = 13$

(6) $\left( {m + \frac{1}{m}} \right) = - 5$ হলে ${\left( {m - \frac{1}{m}} \right)^2}$ এর মান নির্ণয় করো।

(7) $\left( {x + \frac{1}{x}} \right) = a$ হয়, তবে দেখাও যে ${\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^2} = {a^2} - 4$

(8) যদি $\left( {x + \frac{1}{x}} \right) = 2$ হয় তাহলে $\left( {x - \frac{1}{x}} \right)$ এর মান নির্ণয় করো।

(9) যদি $\left( {m + \frac{1}{m}} \right) = 4$ হয় তাহলে $\left( {m - \frac{1}{m}} \right)$ এর মান নির্ণয় করো।
[/content]
[content]
(10) যদি $\left( {x - \frac{1}{x}} \right) = 5$ হয় তাহলে, ${\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2}$ এর মান নির্ণয় করো।

(11) যদি $\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right) = 4$ হয় তাহলে, $\left( {\frac{a}{b} - \frac{b}{a}} \right)$ এর মান নির্ণয় করো।

(12) যদি $\left( {a + b} \right) = 5$ এবং $ab = 6$ হয়, তাহলে, $\left( {a - b} \right)$ এর মান নির্ণয় করো।

(13) যদি $\left( {x + y} \right) = 7$ এবং $xy = 12$ হয়, তাহলে, ${\left( {x - y} \right)^2}$ এর মান নির্ণয় করো।

(14) যদি $\left( {m + n} \right) = 8$ এবং $\left( {m - n} \right) = 2$ হয়, তাহলে $mn$ এর মান নির্ণয় করো।

(15) যদি $\left( {2a + 3b} \right) = 9$ এবং $ab = 3$ হয় তাহলে, $\left( {2a - 3b} \right)$ এর মান নির্ণয় করো।

(16) যদি $\left( {a - b} \right) = 2$ এবং $ab = 15$ হয় তাহলে, $\left( {a + b} \right)$ এর মান নির্ণয় করো:

(17) যদি $\left( {a - b} \right) = 3$ এবং $ab = 40$ হয় তাহলে, $\left( {a + b} \right)$ এর মান নির্ণয় করো।

(18) যদি $\left( {a - b} \right) = 4$ এবং $ab = 2$ হয় তাহলে, ${\left( {a + b} \right)^2}$ এর মান নির্ণয় করো।

(19) যদি $\left( {a + b} \right) = 4$ এবং $ab = 3$ হয় তাহলে, ${\left( {a - b} \right)^2}$ এর মান নির্ণয় করো।

PROBLEM TYPE: XI (সূত্রের সাহায্যে সরল করো:)

(1) $567 \times 567 - 2 \times 567 \times 564 + 564 \times 564$

(2) $1.39 \times 1.39 + 2 \times 1.39 \times 1.61 + 1.61 \times 1.61$

(3) $1.89 \times 1.89 + 2 \times 1.89 \times 1.11 + 1.11 \times 1.11$

(4) $3.33 \times 3.33 + 2 \times 3.33 \times 1.67 + 1.67 \times 1.67$

(5) $9.91 \times 9.91 + 9.91 \times 2.18 + 1.09 \times 1.09$

(6) $99.1 \times 99.1 + 2 \times 99.1 \times 0.9 + 0.9 \times 0.9$

(7) $6.25 \times 6.25 - 2 \times 6.25 \times 4.25 + 4.25 \times 4.25$

(8) $98.7 \times 98.7 - 2 \times 98.7 \times 98.9 + 98.9 \times 98.9$

(9) $1.24 \times 1.24 + 2 \times 1.24 \times 0.76 + 0.76 \times 0.76$

(10) $7.17 \times 7.17 - 12.14 \times 7.17 + 6.07 \times 6.07$

(11) $5.12 \times 5.12 - 8.24 \times 5.12 + 4.12 \times 4.12$

(12) ${\left( {3x + 2y} \right)^2} + 2.\left( {3x + 2y} \right).\left( {3x - 2y} \right) + {\left( {3x - 2y} \right)^2}$

(13) ${\left( {a + b} \right)^2} + 2.\left( {a + b} \right).\left( {a - b} \right) + {\left( {a - b} \right)^2}$

(14) ${\left( {3x + 2y + z} \right)^2} - 2.\left( {3x + 2y + z} \right).\left( {x - y + 2z} \right) + {\left( {x - y + 2z} \right)^2}$

(15) $4{\left( {m + n} \right)^2} - 12.\left( {m + n} \right).\left( {m - n} \right) + 9{\left( {m - n} \right)^2}$

(16) ${\left( {3x - y} \right)^2} - 2.\left( {3x - y} \right).\left( {x - y} \right) + {\left( {x - y} \right)^2}$
[/content]
[content]
(17) ${\left( {3a - 5b} \right)^2} + 2.\left( {3a - 5b} \right).\left( {a + 5b} \right) + {\left( {a + 5b} \right)^2}$

(18) ${\left( {a + b} \right)^2} + 2.\left( {a + b} \right).\left( {a - b} \right) + {\left( {a - b} \right)^2}$

(19) ${\left( {3x + 2y} \right)^2} + 2.\left( {3x + 2y} \right).\left( {3x - 2y} \right) + {\left( {3x - 2y} \right)^2}$

(20) ${\left( {4m - 3n} \right)^2} + 2.\left( {4m - 3n} \right).\left( {4m + 3n} \right) + {\left( {4m + 3n} \right)^2}$

(21) ${\left( {5m + 2n} \right)^2} - 2.\left( {5m + 2n} \right).\left( {5m - 2n} \right) + {\left( {5m - 2n} \right)^2}$

(22) ${\left( {2x + y + z} \right)^2} - 2.\left( {2x + y + z} \right).\left( {y + z} \right) + {\left( {y + z} \right)^2}$

(23) ${\left( {a - b - c} \right)^2} - 2.\left( {a - b - c} \right).\left( {a + b - c} \right) + {\left( {a + b - c} \right)^2}$

(24) ${\left( {2x + 3y - 4z} \right)^2} + 2.\left( {2x + 3y - 4z} \right).\left( {2x - 3y + 4z} \right) + {\left( {2x - 3y + 4z} \right)^2}$

(25) $25{m^2} - 10m\left( {5m + 2n} \right) + {\left( {5m + 2n} \right)^2}$

(26) ${\left( {3p + 4q} \right)^2} - 8q\left( {3p + 4q} \right) + 16{q^2}$

(27) ${\left( {3a - 4b + 5c} \right)^2} - 2.\left( {3a - 4b + 5c} \right).\left( {2a - 3b + 5c} \right) + {\left( {2a - 3b + 5c} \right)^2}$

(28) ${\left( {2a + 3b} \right)^2} + 2.\left( {2a + 3b} \right).\left( {2a - 3b} \right) + {\left( {2a - 3b} \right)^2}$

(29) ${\left( {3a - b} \right)^2} + 2.\left( {3a - b} \right).\left( {3a + b} \right) + {\left( {3a + b} \right)^2}$

(30) ${\left( {3p + 4q} \right)^2} - 2.\left( {3p + 4q} \right).\left( {3p - 4q} \right) + {\left( {3p - 4q} \right)^2}$

(31) ${\left( {4l + m} \right)^2} - 2.\left( {4l + m} \right).\left( {4l - m} \right) + {\left( {4l - m} \right)^2}$

(32) ${\left( {5l + 4m} \right)^2} + 2.\left( {5l + 4m} \right).\left( {5l - 4m} \right) + {\left( {5l - 4m} \right)^2}$
[/content][content]
PROBLEM TYPE: XII

(1) ${\left( {a - b} \right)^2}$ সূত্রের সাহায্যে $\left( {5c + 8d} \right)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

(2) ${\left( {a + b} \right)^2}$ এর বিস্তৃতির সাহায্যে ${\left( {2x - 3y} \right)^2}$ এর বিস্তৃতি নির্ণয় করো।
PROBLEM TYPE: XIII


(1) $\left( {{x^2} + 8x + 64} \right)$ রাশির ক্ষুদ্রতম মান ও অনুরূপ $x$ এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
$\left( {{x^2} + 8x + 64} \right)$
= ${\left( x \right)^2} + 2.x.4 + {\left( 4 \right)^2} + 48$
= ${\left( {x + 4} \right)^2} + 48$

সুতরাং রাশিটির ক্ষুদ্রতম মান হল $48$ এবং অনুরূপ $x$ এর মান হবে $- 4$

(2) $\left( {9{x^2} + 3x - 8} \right)$ রাশিটির ক্ষুদ্রতম মান ও অনুরূপ $x$ এর মান নির্ণয় করো।

(3) $\left( {5 - 7x - 4{x^2}} \right)$ রাশিটির বৃহত্তম মান ও অনুরূপ $x$ এর মান এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
$\left( {5 - 7x - 4{x^2}} \right)$
= $5 + \frac{{49}}{{16}} - \left( {4{x^2} + 2.2x.\frac{7}{4} + \frac{{49}}{{16}}} \right)$
= $8\frac{1}{{16}} - {\left( {2x + \frac{7}{4}} \right)^2}$

সুতরাং রাশিটির বৃহত্তম মান হল $8\frac{1}{{16}}$ এর অনুরূপ $x$ এর মান $- \frac{7}{8}$

(4) $\left( {5 - 6x - 9{x^2}} \right)$ রাশিটির বৃহত্তম মান ও অনুরূপ $x$ এর মান নির্ণয় করো।