Foundation Series, Class: VII, জ্যামিতিতে রৈখিক প্রতিসাম্য (Linear Symetry)

(1) চলন বলতে কী বোঝ?


যদি কোনো গতিশীল বস্তুর প্রত্যেকটি বিন্দু একই অভিমুখে সরলরেখা বরাবর একই দূরত্ব অতিক্রম করে স্থান পরিবর্তন করে, তখন বস্তুর ওইরূপ গতিকে চলন (Translation) বলে।

(i) সোজাপথে চলন্ত বাসের গতি

(ii) পৃথিবীর অভিকর্ষের টানে গাছ থেকে আপেল পড়ার গতি।

(iii) বন্দুকের গুলির প্রাথমিক গতি।

(iv) অবাধে পতনশীল বস্তুর গতি।



(2) ঘূর্ণন বলতে কী বোঝ?


যখন কোনো বস্তু একটি নির্দিষ্ট বিন্দু বা অক্ষ থেকে দূরত্ব সমান রেখে একই পরিমাণ কোণে ঘোরে, তখন বস্তুটির ওইরূপ গতিকে ঘূর্ণন (Rotation) বলে।

(i) বৈদ্যুতিক পাখার গতি।

(ii) কব্জায় আটকানো দরজার গতি।

(iii) যাঁতার গতি।

(iv) সূর্যের চারিদিকে পৃথিবীর প্রদক্ষিণ গতি।



এছাড়াও কোনো বস্তুর গতি (1) চলন ও (2) ঘূর্ণনের সংমিশ্রনে তৈরি হতে পারে।

(i) চলন্ত বাসের চাকার গতি।

(ii) গোরুর গাড়ীর চাকার গতি।



(3) জ্যামিতিক প্রতিফলন (Geometric Reflection):


জ্যামিতিক প্রতিফলন হল একটি বিশেষ ধরণের সর্বসম জ্যামিতিক চিত্রের রূপান্তর যাতে স্থির বিন্দুগুলি একটি রেখা বা তল বরাবর অবস্থিত হয়। এবং এইরূপ প্রতিফলনে কোনো জ্যামিতিক চিত্রের দিকস্থিতি বিপরীতমুখী হয়।



(4) জ্যামিতিক প্রতিফলনে দিকস্থিতির মূলকারণ কী?


জ্যামিতিক প্রতিফলনে "বস্তু দূরত্ব ও প্রতিবিম্ব দূরত্ব" সর্বদা সমান হওয়ায়, দিকস্থিতি ঘটে থাকে।



(5) জ্যামিতির রূপান্তর কাকে বলে?


কোনো জ্যামিতিক চিত্রকে তার সমতলে এক অবস্থান থেকে অন্য একটি অবস্থানে স্থানান্তর করার ফলে যদি চিত্রটির আকার, আকৃতি ও আয়তনের পরিবর্তন হতেও পারে বা নাও হতে পারে, তখন এইরূপ স্থানান্তরকে জ্যামিতিক রূপান্তর বলে।

এখানে, (i) চলন (ii) ঘূর্ণন () ও (iii) প্রতিফলন তিনটিই হল সর্বসম জ্যামিতিক রূপান্তর।



(6) স্থির সরলরেখা বলতে কী বোঝ?


কোনো জ্যামিতিক রূপান্তরের সাপেক্ষে যে সকল রেখার অবস্থানের কোনো পরিবর্তন ঘটে না, তাদের ওই জ্যামিতিক রূপান্তরের সাপেক্ষে স্থির সরলরেখা বলে।



(7) কোন্‌ ধরনের জ্যামিতিক রূপান্তরে স্থির সরলরেখা নেই?


জ্যামিতিক ঘূর্ণন রূপান্তরে কোনো স্থির সরলরেখা নেই।



(8) জ্যামিতিক প্রতিফলনে স্থির সরলরেখা আছে কি?


জ্যামিতিক প্রতিফলনে অসংখ্যা স্থির সরলরেখা আছে। কোনো প্রতিফলন রেখা এবং তার উপর লম্বভাবে অবস্থিত সকল রেখাই স্থির সরলরেখা।



(9) জ্যামিতিক চলনে স্থির সরলরেখা আছে কি?


জ্যামিতিক চলনের অভিমুখে সমস্ত সরলরেখাই হল স্থির সরলরেখা।



(10) স্থির বিন্দু বলতে কী বোঝ?


কোনো জ্যামিতিক রূপান্তরের সাপেক্ষে যে সকল বিন্দুর অবস্থানের কোনও পরিবর্তন ঘটে না, তাদের ওই জ্যামিতিক রূপান্তরের সাপেক্ষে স্থির বিন্দু বলে।



(11) কোন ধরণের জ্যামিতিক রূপান্তরে স্থির বিন্দু নেই?


জ্যামিতিক চলনে কোনো স্থির বিন্দু নেই।




(12) প্রতিফলনের সাপেক্ষে স্থির বিন্দু বলতে কি বোঝ?


প্রতিফলনের সাপেক্ষে যে সকল বিন্দুর অবস্থানের কোনো পরিবর্তন ঘটে না, তাদের প্রতিফলনের সাপেক্ষে স্থির বিন্দু বলে।



(13) প্রতিফলনে স্থির বিন্দু কোন্‌গুলি?


প্রতিফলন রেখার উপরে অবস্থিত সকল বিন্দুই স্থির বিন্দু।



(14) ঘূর্ণনে স্থির বিন্দু কোন্‌টি?


জ্যামিতিক ঘূর্ণনে "ঘূর্ণন-কেন্দ্র" টি হল একমাত্র স্থির বিন্দু।



প্রতিসাম্য (Symmetry) দুই ধরণের হয়:

(a) রৈখিক প্রতিসাম্য (Linear Symmetry)

(b) ঘূর্ণন প্রতিসাম্য (Rotational Symmetry)



প্রতিসাম্য বা রৈখিক প্রতিসাম্য (Linear Symmetry):


কোনো জ্যামিতিক চিত্রকে যদি কোনো রেখা বরাবর ভাঁজ করলে, চিত্রটির এক অর্ধাংশ, অপর অর্ধাংশের সঙ্গে সম্পূর্ণভাবে মিলে যায়, তবে ওই রেখাটিকে ওই জ্যামিতিক চিত্রের প্রতিসাম্য অক্ষ বা প্রতিসাম্য রেখা বলে। এবং এক্ষেত্রে চিত্রটির রৈখিক প্রতিসাম্য আছে বলা হয়। অর্থাৎ ওই জ্যামিতিক চিত্রটি ওই রেখাটির সাপেক্ষে প্রতিসম (Linear Symmetry)।



অনুসিদ্ধান্ত: 1

একটি রেখাংশ এটির লম্বসমদ্বিখন্ডকের সাপেক্ষে সর্বদা প্রতিসম। এদিক থেকে একটি রেখাংশের প্রতিসাম্য রেখা একটি। আবার রেখাংশ নিজেই নিজের সাপেক্ষে প্রতিসম। সুতরাং প্রকৃতপক্ষে রেখাংশের প্রতিসাম্য রেখা দুটি।

অনুসিদ্ধান্ত: 2

কোনো সরলরেখার উপর লম্ব যেকোনো রেখা, সরলরেখাটির প্রতিসাম্য রেখা। সুতরাং কোনো সরলরেখার প্রতিসাম্য অক্ষ অসংখ্য।

অনুসিদ্ধান্ত: 3

কোনো কোণ (Angle), এটির অন্তর্দ্বিখন্ডকের সাপেক্ষে সর্বদা প্রতিসম।

অনুসিদ্ধান্ত: 4

কোনো সমদ্বিবাহু ত্রিভূজের শীর্ষকোণের অন্তর্দ্বিখন্ডকের সাপেক্ষে বা সমদ্বিখন্ডক মধ্যমার সাপেক্ষে সর্বদা প্রতিসম। তাই সমদ্বিবাহু ত্রিভূজের প্রতিসাম্য অক্ষ বা রেখা একটি।

অনুসিদ্ধান্ত: 5

কোনো সমবাহু ত্রিভূজের তিনটি মধ্যমা, প্রত্যেকটির সাপেক্ষে প্রতিসম। তাই কোনো সমবাহু ত্রিভূজের প্রতিসাম্য অক্ষ হল তিনটি।

অনুসিদ্ধান্ত: 6

বিষমবাহু ত্রিভূজের কোনও প্রতিসাম্য রেখা বা প্রতিসাম্য অক্ষ নেই। 

অনুসিদ্ধান্ত: 7

আয়তক্ষেত্রের দুইজোড়া বিপরীত সমান্তরাল বাহুর লম্বসমদ্বিখন্ডক সরলরেখা দুটি এক্ষেত্রে প্রতিসাম্য রেখা বা প্রতিসাম্য অক্ষ। তাই আয়তক্ষেত্রের প্রতিসাম্য অক্ষের সংখ্যা দুইটি।

অনুসিদ্ধান্ত: 8

বর্গক্ষেত্রের দুটি কর্ণ বরাবর এবং দুইজোড়া বিপরীত বাহুদুটির লম্ব সমদ্বিখন্ডকের সাপেক্ষে প্রতিসম। তাই বর্গক্ষেত্রের প্রতিসাম্য অক্ষ হল চারটি।

অনুসিদ্ধান্ত: 9

রম্বসের কর্ণ বরাবর সরলরেখা দুটির সাপেক্ষে প্রতিসম হয়। তাই রম্বসের কর্ণ বরাবর সরলরেখা দুটি হল প্রতিসম অক্ষ। সুতরাং রম্বসের প্রতিসাম্য অক্ষ দুটি।

অনুসিদ্ধান্ত: 10

সামান্তরিকের কোনো প্রতিসাম্য অক্ষ বা প্রতিসাম্য রেখা নেই।

অনুসিদ্ধান্ত: 11

বিশেষ কোনো ধরণের চতুর্ভূজ না হলে, চতুর্ভূজেরও কোনো প্রতিসাম্য অক্ষ বা প্রতিসাম্য রেখা নেই।

অনুসিদ্ধান্ত: 12

সমদ্বিবাহু নয়, এমন ট্রাপিজিয়ামও রৈখিকভাবে প্রতিসম নয়। তাই এক কোনো প্রতিসাম্য অক্ষ বা প্রতিসাম্য রেখা নেই।

অনুসিদ্ধান্ত: 13

সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম হলে, ট্রাপিজিয়ামটির সমান্তরাল বাহুদুটির লম্ব সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাটির সাপেক্ষে ট্রাপিজিয়ামটি প্রতিসম হয়। তাই সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের প্রতিসাম্য রেখা একটি।

অনুসিদ্ধান্ত: 14

কোনো বৃত্ত এটির যেকোনো ব্যাস সাপেক্ষে প্রতিসম: অর্থাৎ কোনো বৃত্তের প্রতিসাম্য অক্ষের সংখ্যা অসংখ্য।

অনুসিদ্ধান্ত: 15

একটি অর্ধবৃত্ত, একটি কেন্দ্রগামী ব্যাসের লম্বসমদ্বিখন্ডকের সাপেক্ষে প্রতিসম হয়। তাই একটি অর্ধবৃত্তের প্রতিসাম্য রেখা একটি।

রৈখিক প্রতিসাম্যের ধারণা:

(1) কোনো চিত্রের প্রতিসাম্য অক্ষ বা প্রতিসাম্য রেখা, চিত্রটিকে দুটি সর্বসম চিত্রে বিভক্ত করে।

(2) কোনো রৈখিক প্রতিসাম্য চিত্রের একাধিক প্রতিসাম্য অক্ষ থাকতে পারে।

(3) কোনো চিত্রের প্রতিসাম্য রেখা বরাবর আয়না রাখলে, আয়নায় অবিকল প্রতিরূপ পাওয়া যাবে।



কতকগুলি প্রাণী বা বস্তুর প্রতিসাম্য রেখা সম্পর্কে ধারণা:

ইংরাজীর কিছু বড়ো হাতের অক্ষরগুলি প্রতিসাম্য রেখা:

কেবলমাত্র উল্লম্ব রেখা বরাবর প্রতিসম:	কেবলমাত্র অনুভূমিক রেখা বরাবর প্রতিসম:	অনুভূমিক ও উল্লম্ব রেখা উভয় বরাবর প্রতিসম:
A, M, T, U, V, W, Y	B, C, D, E, K	H, I, O, X

⏯নিম্নলিখিত ইংরাজীর বড়ো হাতের অক্ষরগুলির কোনো রৈখিক প্রতিসাম্য নেই, এরা অপ্রতিসম (Asymmetric)।




F, G, J, L, N, P, Q, R, S, Z




গাণিতিক প্রশ্নমালা:



(1) শূন্যস্থান পূরণ করো।

(2) U বর্ণটির প্রতিসাম্য অক্ষ ... ... ...।

(3) বৃত্তের প্রতিসাম্য অক্ষ ... ... ... ।

(4) বর্গক্ষেত্রের প্রতিসাম্য অক্ষ ... ... ... ।

(5) রম্বসের প্রতিসাম্য অক্ষ ... ... ... ।

(6) সমদ্বিবাহু ত্রিভূজের প্রতিসাম্য অক্ষ ... ... ... ।

(7) P বর্ণটি ... ... ... নয়।

(8) তাজমহল একটি ... ... ... স্থাপত্য।

(9) কোণের প্রতিসাম্য অক্ষ ... ... ... ।

(10) রশ্মির প্রতিসাম্য অক্ষের সংখ্যা ... ... ... ।

(11) কোনো সরলরেখার প্রতিসাম্য অক্ষ ... ... ... ।

(12) একটি সুষম ষড়ভূজের প্রতিসাম্য রেখার সংখ্যা ... ... ... ।

(13) সমবাহু ত্রিভূজের প্রতিসাম্য রেখার সংখ্যা ... ... ... ।

(14) Q বর্ণটির প্রতিসাম্য অক্ষের সংখ্যা ... ... ... ।

(15) অর্ধবৃত্তের প্রতিসাম্য অক্ষের সংখ্যা ... ... ... ।

(16) একটি তীরের প্রতিসাম্য রেখার সংখ্যা ... ... ... ।

(17) বৃত্তের প্রতিটি ... ... ... এটির প্রতিসাম্য রেখা।





সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করো:

(1) কোন্‌ কোন্‌ চতুর্ভূজের কেবলমাত্র দুটি প্রতিসাম্য অক্ষ আছে?

(a) বর্গক্ষেত্র ও সামান্তরিক

(b) বর্গক্ষেত্র ও রম্বস

(c) আয়তক্ষেত্র ও রম্বস

(d) আয়তক্ষেত্র ও সামান্তরিক



(2) কোন্‌ চতুর্ভূজের চারটি প্রতিসাম্য অক্ষ আছে?

(a) সামান্তরিক

(b) আয়তক্ষেত্র

(c) রম্বস

(d) বর্গক্ষেত্র



(3) কোন্‌ চতুর্ভূজের কেবল একটিমাত্র প্রতিসাম্য রেখা আছে?

(a) সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম

(b) আয়তক্ষেত্র

(c) রম্বস

(d) বর্গক্ষেত্র



(4) কোন্‌ চতুর্ভূজের কেবল একটি প্রতিসাম্য অক্ষ আছে যা একটি তার কর্ণ?

(a) ঘুড়ী বা তীরচিহ্ন

(b) বর্গক্ষেত্র

(c) সামান্তরিক

(d) ট্রাপিজিয়াম



(5) কোন্‌ চতুর্ভূজের একটি প্রতিসাম্য অক্ষ আছে যা তার কর্ণ নয়?

(a) আয়তক্ষেত্র

(b) রম্বস

(c) বর্গক্ষেত্র

(d) সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম



(6) তিনের অধিক প্রতিসম অক্ষ আছে এমন হল

(a) ত্রিভূজের

(b) সামান্তরিকের

(c) চতুর্ভূজের

(d) বৃত্তের



(7) অর্ধবৃত্তের প্রতিসম রেখার সংখ্যা হল

(a) একটি

(b) দুইটি

(c) তিনটি

(d) অসংখ্য



(8) সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভূজের প্রতিসম রেখার সংখ্যা

(a) শূন্য

(b) একটি

(c) দুইটি

(d) তিনটি



(9) $n$ সংখ্যাক বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভূজের প্রতিসম রেখার সংখ্যা

(a) শূন্য

(b) $n$

(c) $\left( {n - 1} \right)$

(d) $\left( {n + 1} \right)$





নীচের চিত্রগুলির রৈখিক প্রতিসাম্য অক্ষ কয়টি?

(1) ট্রাপিজিয়াম

(2) সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম

(3) রশ্মি বা অর্ধ-রেখা

(4) চতুর্ভূজ

(5) $\overline {AB}$

(6) $\angle BAC$

(7) AB সরলরেখা

(8) H

(9) M

(10) B

(11) A

(12) সুষম পঞ্চভূজ

(13) বৃত্তের একটি চাপ

(14) বিষমবাহু ত্রিভূজ

(15) সমবাহু ত্রিভূজ

(16) আয়তক্ষেত্র

(17) বর্গক্ষেত্র

(18) রম্বস

(19) বৃত্ত





নীচের কোন্‌গুলি প্রতিসম নয় উল্লেখ করো:

(1) ফুটবল, (2) বৃত্ত, (3) তাজমহল, (4) P, (5) ভিক্টোরিয়া মেমোরিয়াল সৌধ, (6) বিষমবাহু ত্রিভূজ, (7) রশ্মি, (8) পাঁচ টাকার মুদ্রা, (9) প্রজাপতি, (10) পান





কয়েকটি প্রশ্ন:

(1) প্রতিসাম্য বা রৈখিক প্রতিসাম্য কাকে বলে?

(2) একটিমাত্র প্রতিসাম্য রেখা থাকবে এমন কোনো ত্রিভূজ আঁকা সম্ভব কি? উদাহরণ দাও।

(3) কেবলমাত্র দুটি প্রতিসাম্য রেখা থাকবে এমন কোনো ত্রিভূজ আঁকা সম্ভব কি? উদাহরণ দাও।

(4) তিনটি প্রতিসাম্য রেখা থাকবে এমন কোনো ত্রিভূজ আঁকা সম্ভব কি? উদাহরণ দাও।

(5) কোনো প্রতিসাম্য রেখা থাকবে না এমন কোনো ত্রিভূজ আঁকা সম্ভব কি? উদাহরণ দাও।

(6) নীচের ইংরাজী শব্দগুলিকে ছবি হিসাবে বিবেচনা করে (প্রয়োজনে ক্রম পরিবর্তন না করে সাজিয়ে) শব্দগুলির প্রতিসম অক্ষ দেখাও।

(a) COOK, (b) WHAT, (c) HUT, (d) MATH, (e) BED

(7) MATHEMATICS শব্দটির মধ্যে এমন বর্ণগুলি উল্লেখ করো যাদের (a) একটি করে অনুভূমিক প্রতিসাম্য অক্ষ আছে, (b) একটি করে উল্লম্ব প্রতিসাম্য অক্ষ আছে, (c) দুটি প্রতিসাম্য অক্ষ আছে।